Erhan Göktepe

Her ÅŸey, Benoit Mandelbrot’un kafasında oluÅŸan ve basit gibi görünen bir soru ile baÅŸladı: Ä°ngiltere’nin kıyı uzunluÄŸu ne kadardır? Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk ÅŸey, ölçeÄŸi belli bir harita bulduktan sonra, buradan kıyı ÅŸeridinin uzunluÄŸunu, sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeÄŸiyle çarparak, kıyı uzunluÄŸunu hesaplamak olabilir. Peki, kıyı ÅŸeridinin uzunluÄŸu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı ÅŸeridinin uçaktan çekilmiÅŸ bir dizi fotoÄŸrafı ile daha doÄŸru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu deÄŸer, harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır. Biraz daha ileri gidip, tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadarlık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluÄŸu milimetrik bir cetvelle ölçebildiÄŸinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiÄŸinizi… Sonuçta, ölçümlerinizi hassaslaÅŸtırdıkça, kıyı uzunluÄŸunun sonsuza gittiÄŸini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları, aslında sonsuz uzunluktadır!

Bu basit ve çarpıcı sonuç, Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde, ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı. Mandelbrot, tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anlamına gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’, belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir.

Fraktal geometri, bildiÄŸimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduÄŸumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik ÅŸekillerle ilgilenir. Mandelbrot’un fraktalleri ise, kesirli boyutlara sahip olmaları açısından, geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. MatematiÄŸe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduÄŸunu ve bunun iki boyutlu olduÄŸunu düşünün (aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyultu bir nesnedir ama, ÅŸimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruÅŸturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiÅŸ bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduÄŸunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruÅŸmuÅŸ olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruÅŸma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey ÅŸekli elde etmeye baÅŸlarsınız. Ä°ÅŸte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doÄŸada hakim olan geometri de iÅŸte bu ‘fraktal geometri’dir…

DoÄŸadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiÄŸinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiÅŸ soyutlamalardan oluÅŸuruken, tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaÅŸabilecek kan damarlarını ve bir kaç tenis kortu kadar alan kaplayan akciÄŸer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aÅŸkın bir uzunluÄŸa eriÅŸen ‘DNA’ molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeÄŸin içine paketlenmesinin ardında, iÅŸte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır…

Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu, internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (fractal explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun, bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak, matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki, bu tekrarlayan işlem serileri, tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında, ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon, yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi, alanı sonlu, fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.

Fraktallerin bir başka çarpıcı özelliği, doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (self similarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim, aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından, ana kümenin şekli, küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.



Tabiatta da bu durumla sık sık karşılaşırız: ÖrneÄŸin aÄŸaçların bir çok tipinde, dal ve köklerdeki saçaklanma biçimleriyle; dalların yan dallara ayrılma biçimlerinin, yaprakların çıkış noktalarının ve yapraklar üzerindeki damarların dallanış biçimlerinin hep birbirine benzer bir kalıp izlediÄŸine belki de daha önce dikkat etmiÅŸsinizdir. Daha çarpıcı bir örnek olarak, atom-altı düzeyi de düşünebiliriz. Bu düzeyde ulaÅŸtığımız mikro-alem, aynen uzay boÅŸluÄŸu gibi karanlık, nisbi olarak korkunç mesafelerle birbirlerinden ayrılmış bileÅŸenlerden (elektronlar - protonlar vb.) oluÅŸan bir boÅŸluktur ve atomun ardında, yeni bir ‘uzay boÅŸluÄŸu’, farklı ölçeklerle de olsa bizi bekler gibidir! Ä°ÅŸte bu özellikler, fraktal geometrinin sadece aÄŸlenceli bir oyun olmaktan ziyade, hayatın kendisini daha iyi anlamamızda yardımcı bir araç olarak kullanılması konusunda bizi defaatle ikaz ediyor…

Yapısındaki bıktırıcı ve binlerce tekrara dayalı matematiksel altyapıya raÄŸmen fraktal geometri, özellikle günümüz yazılım teknolojisinin nimetleriyle de birleÅŸince artık oldukça yaygınlaÅŸmış durumda. Günümüzde fraktalleri oluÅŸturmak için uzmanlığa gerek olmadığı gibi, güzelliklerini ve bize anlattıklarını anlayabilmek/takdir edebilmek için matematik dehası olmak gerekmiyor. Tek ÅŸart, insanî bir merak ve iÅŸtiyak sahibi olmak; hepsi o kadar.. Bana sorarsanız, hemen bir fraktal programı edinip kurcalamaya baÅŸlayın; karşınıza çıkan alem karşısında ÅŸaÅŸkınlığınızı uzun süre gizleyebileceÄŸinizi sanmıyorum…

Fraktal alemdeki kişisel maceramın bana bir kez daha hatırlattığı bir gerçek var: Bu kâinat öyle bir –fraktal– kitap ki, her bir harfinde okunası nice ciltler yazılıp paketlenmiş.. Bizler bu gün, bilimin de katkısıyla bunu çok daha iyi anlıyoruz.

Bize düşen ise, okuyabildiÄŸimiz kadar okumak…

Dr. Sinan Canan